Geometria Plana

A geometria plana dedica-se aos objetos pertencentes ao plano, ou seja, que possuem apenas largura e comprimento. Ela também é conhecida como geometria euclidiana.

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A geometria plana é a área de estudos que se volta para os objetos pertencentes ao plano, ou seja, todos os seus elementos (ponto, reta e polígonos) estão “dentro” do plano. A geometria teve seu início na Grécia Antiga e é conhecida também como geometria euclidiana plana, em homenagem a um grande estudioso da área chamado Euclides. Matemático de Alexandria, Euclides é conhecido como o “pai da geometria”.

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Leia também: Geometria espacial – estudo das figuras com três dimensões

Tópicos deste artigo

1 - Conceitos da geometria plana
2 - Fórmulas e figuras principais da geometria plana
3 - Geometria plana e espacial
4 - Geometria plana no Enem
5 - Exercícios resolvidos

Conceitos da geometria plana

Alguns conceitos são essenciais para que se entenda a geometria plana, mas não são demonstráveis, sendo chamados de conceitos primitivos. São eles:

Ponto

O ponto não possui dimensão e vamos representá-lo por uma letra maiúscula.

Reta

A reta possui uma dimensão, o comprimento, e é representada por uma letra minúscula. A reta é infinita.

A partir do conceito de reta, podemos definir três outros conceitos: segmento de reta, semirreta e ângulo.

– Segmento de reta

O segmento de reta é definido por uma reta delimitada por dois pontos distintos, ou seja, uma reta com começo e fim.

– Semirreta

A semirreta é definida como sendo uma reta com começo e sem fim, ou seja, ela será infinita em uma das direções.

– Ângulo

O ângulo é utilizado para medir o espaço entre duas retas, semirretas ou segmentos de retas. Quando medimos um ângulo, estamos determinando sua amplitude.

Plano

O plano apresenta duas dimensões e é representado por uma letra grega (α, β, γ, … ).

Veja também: Ponto, reta, plano e espaço: fundamentos da geometria plana

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Fórmulas e figuras principais da geometria plana

Agora veremos as principais fórmulas para calcular áreas de figuras planas.

Triângulo

Para calcular a área de um triângulo, basta multiplicar a medida da base (b) com a medida da altura (h) e dividir o resultado por dois.

Quadrado

Sabemos que os lados do quadrado são todos iguais. Para calcular sua área, multiplicamos a medida da base com a medida altura. Como as medidas são as mesmas, multiplicá-las é o mesmo que elevar o lado ao quadrado.

Retângulo

A área do retângulo é dada pela multiplicação da base pela altura.

Losango

A área do losango é dada pelo produto da diagonal maior (D) com a diagonal menor (d) dividido por dois.

Trapézio

A área do trapézio é dada pelo produto da altura com a soma da base maior (B) e a base menor (b) dividido por dois.

Círculo

A área do círculo de raio r é dada pelo produto do raio ao quadrado com o número irracional ℼ (em geral utilizamos o valor ℼ = 3,14).

Veja também: Área dos sólidos geométricos – fórmulas e exemplos

Geometria plana e espacial

A geometria plana é caracterizada por ter todos os seus elementos contidos no plano. Assim, nenhum objeto na geometria plana tem volume, e sim área. Mas o mundo real não possui apenas duas dimensões, certo? Você, neste exato momento, consegue se mexer para frente e para trás (uma dimensão), para a direita e para a esquerda (mais uma dimensão) e, por fim, girar em uma cadeira de escritório (mais uma dimensão), ou seja, três dimensões.

A geometria espacial trata de estudar justamente objetos que estão na terceira dimensão. Algumas das estruturas estudadas na geometria espacial estão presentes em nosso dia a dia, como esferas, cones, cilindros e paralelepípedos.

Geometria plana no Enem

A geometria plana possui diversas aplicações em nosso cotidiano. Em razão da vasta aplicabilidade, existe uma gama de problemas que podem ser explorados e, consequentemente, esse assunto aparece com frequência em questões de vestibulares e Enem.

Questões de geometria plana exigem do aluno um raciocínio construtivo e lógico. A grande dificuldades das questões não é com os conceitos geométricos em si, e sim com o envolvimento de temas como equação do primeiro grau, equação do segundo grau, operações com frações, porcentagem e proporção. Vejamos alguns exemplos.

→ Exemplo 1

(Enem/2012) Em 20 de fevereiro de 2011, ocorreu a grande erupção do vulcão Bulusan nas Filipinas. A sua localização geográfica no globo terrestre é dada pelo GPS com longitude de 124° 3’ 0’’ a leste do Meridiano de Greenwich. (Dado: 1° equivale a 60’ e 1 equivale a 60″.)

PAVARIN, G. Galileu, fev. 2012 (adaptado)

A representação angular da localização do vulcão com relação a sua longitude de forma decimal é:

a) 124,02°

b) 124,05°

c) 124,20°

d)124,30°

e)124,50°

Solução

Para resolver o exercício, devemos transformar 124° 3’ e 0″ (lê-se: cento e vinte e quatro graus, três minutos e zero segundos) para graus. Para isso, basta escrevermos os 3 minutos em graus e, já que a localização possui 0″, não há nada a fazer.

Foi fornecido pelo exercício que 1° equivale a 60’. Vamos utilizar uma regra de três simples para determinar quantos graus temos em 3 minutos.

1° – – – 60’

x° – – – 3’

60x = 3

x = 3 ÷ 60

x = 0,05°

Assim, 124° 3’ e 0″ é equivalente a escrever:

124° + 0,05° + 0°

124,05°

Resposta: alternativa b.

→ Exemplo 2

(Enem/2011) Uma escola tem um terreno vazio no formato retangular cujo perímetro é de 40 m, onde se pretende realizar uma única construção que aproveite o máximo de área possível. Após a análise realizada por um engenheiro, este concluiu que, para atingir o máximo de área do terreno com uma única construção, a obra ideal seria:

a) um banheiro com 8 m².

b) uma sala de aula com 16 m².

c) um auditório com 36 m².

d) um pátio com 100 m².

e) uma quadra com 160 m².

Solução

Como desconhecemos as dimensões do terreno retangular, vamos nomeá-las por x e y.

De acordo com o enunciado, o perímetro é igual a 40 m, ou seja, a soma de todos os lados é igual a 40 m, logo:

x + x + y + y = 40

2x + 2y = 40

2(x +y) = 40

x + y = 20

y = 20 – x

Sabemos também que a área de um retângulo é dada pelo produto da base com a altura, assim:

A = x · y

Substituindo o valor de y, isolado anteriormente, temos:

A = x · (20 – x)

A = – x² + 20x

Agora, para sabermos qual é a área máxima, basta determinar o valor máximo da função A, ou seja, determinar o vértice da parábola. O valor de x_v é dado por:

Para determinar o valor do y_v, vamos substituir o valor de x_v na função A.

A = – x² + 20x

A = – (10)² + 20(10)

A = – 100 + 200

A = 100 m²

Portanto, a área máxima é de 100 m².

Resposta: alternativa d.

Exercícios resolvidos

Questão 1 – Sabendo que área do trapézio abaixo é de 18 m², determine o valor de x.

Resolução

Como a área é igual a 18 m², podemos substitui-la na fórmula da área do trapézio, bem como os valores das medidas dados pelo problema. Veja:

Solucionando agora a equação do segundo grau, temos:

Note que o valor de x no problema retrata uma medida de comprimento, logo só pode assumir um valor positivo, portanto:

x = 3

Questão 2 – Calcule a área do losango que possui a diagonal maior como o dobro da menor.

Resolução

Como desconhecemos os valores das diagonais, vamos nomeá-las por x.

Diagonal menor (d) → x

Diagonal maior (D) → 2x

E substituindo essas informações na fórmula, temos:

Por Robson Luiz
Professor de Matemática

Frase "geometria plana" escrito em fundo quadriculado com objetos escolares. — A geometria plana é a área da matemática que estuda as figuras planas.

Escrito por: Robson Luiz Escritor oficial Brasil Escola

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LUIZ, Robson. "Geometria Plana"; Brasil Escola. Disponível em: /matematica/geometria-plana.htm. o em 23 de maio de 2025.

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Artigos de Geometria Plana

Adição e Subtração de Ângulos

Análise da área dos polígonos

Ângulos

Conhecemos como ângulo a região delimitada por duas semirretas. Ele pode ser agudo, reto, obtuso ou raso.

Ângulos complementares, suplementares e adjacentes

Os ângulos são regiões do plano limitadas por duas semirretas que partem do vértice. Existem ângulos complementares, suplementares e adjacentes.

Ângulos na circunferência

A relação entre ângulos e arcos de uma circunferência é bastante estudada na geometria plana, logo é muito importante compreendê-la.

Aplicações do Teorema de Pitágoras

O teorema de Pitágoras apresenta importantes aplicações para solucionar problemas em situações reais.

Aplicações do Teorema de Tales

Em seus experimentos, Tales concluiu que havia uma proporcionalidade entre as medidas da sombra e da altura dos objetos.

Apótema

O segmento de um polígono que une o centro ao ponto médio de um dos lados é chamado de apótema. Esse segmento forma um ângulo reto com o lado do polígono.

Área de Figuras Equidecomponíveis

As figuras equidecomponíveis são aquelas que podem ser decompostas em diferentes formas, mas todas com a mesma área.

Área de figuras planas

Área de uma figura plana é a medida da sua superfície. Para calcular a área da figura plana, foram desenvolvidas fórmulas específicas que dependem do formato da figura.

Área de qualquer triângulo

Área de um Polígono Regular

Área de uma Região Plana

Área de uma Região Triangular

Área do losango

A área do losango é igual à metade do produto de suas diagonais, cujas medidas são representadas na fórmula da área do losango como D (maior) e d (menor).

Área do paralelogramo

A área do paralelogramo pode ser obtida multiplicando-se a sua base por sua altura, mas também existem outras fórmulas específicas para cada tipo de paralelogramo.

Área do quadrado

A área do quadrado, um caso particular de quadrilátero, pode ser calculada elevando seu lado ao quadrado.

Área do trapézio

A área de um trapézio é a medida de sua superfície e corresponde à metade do produto entre sua altura e a soma de suas bases.

Área do triângulo

A área do triângulo é calculada quando multiplicamos a sua base pela altura e dividimos por dois, mas pode ser calculada de outras formas, dependendo dos dados fornecidos.

Área do triângulo equilátero

A área do triângulo equilátero é calculada por meio de uma fórmula que utiliza a medida do lado desse triângulo.

Área do triângulo retângulo

Correspondendo à medida de sua superfície, a área do triângulo retângulo é a metade do produto entre sua base e sua altura.

Área e perímetro

Área e perímetro são medidas importantes de figuras planas. A área é a extensão que essa figura ocupa na superfície, e o perímetro é a medida do seu contorno.

Bissetriz

Conhecemos como bissetriz a semirreta interna de um ângulo traçada a partir de seu vértice, dividindo-o em dois ângulos congruentes.

Calculando a área do triângulo utilizando os ângulos

Para o calculo da área do triângulo é necessário termos a medida da altura, entretanto, por meio do Teorema das Áreas veremos que esta altura pode ser escrita em função da medida de um dos lados e de um dos ângulos, obtendo assim novas expressões para o c

Cálculo de Áreas Especiais

Classificação de polígonos

Os polígonos são nomeados de acordo com o número de lados que possuem e podem ser classificados como regulares ou irregulares e convexos ou não convexos.

Classificação de triângulos

Há duas maneiras de fazer a classificação de um triângulo: uma delas leva em consideração os lados, e a outra, os ângulos.

Como converter milhas em quilômetros?

É possível converter milhas em quilômetros e vice-versa. Para fazer esse cálculo, deve-se considerar que uma milha equivale, aproximadamente, a 1,6093 quilômetro.

Como encontrar o centro de uma circunferência

Utilizando geometria analítica é possível encontrar o centro de uma circunferência recorrendo às coordenadas de três pontos pertencentes a ela.

Construção de polígonos circunscritos

A construção de polígonos circunscritos é feita a partir dessas figuras e suas suas mediatrizes, desenhando a circunferência que tangencia seus lados.

Construção de polígonos inscritos

A construção de polígonos inscritos é feita a partir de seus vértices, que podem ser vistos como pontos de uma circunferência.

Conversão de Medidas de Superfície

Elementos de um polígono

Os elementos de um polígono são as figuras geométricas que fazem parte de sua definição e de sua estrutura.

Geometria do táxi

A geometria do Táxi, também conhecida como geometria pombalina, compõe as geometrias não euclidianas.

Hexágono

Hexágono é todo polígono que possui seis lados. É possível observar sua presença em situações cotidianas e na natureza, como, por exemplo, nos favos de mel.

Homotetia

A homotetia é um tipo de transformação geométrica que altera o tamanho de uma figura, mas mantém as características principais, como a forma e os ângulos.

Mediatriz

A mediatriz de um segmento é a reta perpendicular ao segmento que cruza seu ponto médio.

Medidas de tempo

Utilizamos o controle do tempo e suas unidades de medida diariamente, pois marcamos compromissos e os gerenciamos por meio do tempo no relógio.

Número de Diagonais de um Polígono Convexo

O Metro e a Jarda

Os Números na Visão da Geometria

Paralelogramos

Definimos como paralelogramo um polígono de quatro lados que possui lados opostos paralelos, sendo os quadrados, retângulos e losangos casos particulares.

Perímetro

O perímetro é a soma dos lados de um polígono, logo ele é o comprimento que encontramos quando somamos a medida desses lados.

Perímetro do quadrado

O perímetro do quadrado é a medida do seu contorno ou a soma de seus lados. Como os quatro lados do quadrado têm a mesma medida, seu perímetro é quatro vezes a medida do lado.

Planificação de sólidos geométricos

A planificação de um sólido geométrico é a figura geométrica plana formada pela superfície desse sólido.

Plano

Planos são objetos matemáticos que não possuem definição, mas que conhecemos as características, propriedades e uso indispensável na Geometria.

Polegadas

Polígono regular

Conhecemos como polígono regular o polígono convexo que possui todos os ângulos e lados congruentes, ou seja, os ângulos possuem a mesma medida e os lados possuem a mesma medida.

Polígonos

Polígonos são figuras planas e fechadas, ou seja, limitadas por segmentos de retas. Os polígonos têm como elementos: lados, vértices, ângulos e diagonais.

Polígonos convexos

Polígonos são convexos quando qualquer segmento de reta que possui extremidades em seu interior está totalmente contido no polígono.

Posições relativas entre duas retas

As posições relativas entre duas retas são as formas como essas retas podem interagir no plano. As possíveis posições relativas são: paralelas, concorrentes e coincidentes.

Proporções Aplicadas no Teorema de Tales

Propriedade dos Paralelogramos

Quadrados

Quadrados são figuras geométricas planas que possuem quatro lados congruentes e quatro ângulos retos, bem como algumas propriedades exclusivas.

Quadriláteros

Quadriláteros são polígonos que possuem quatro lados. Podem ser classificados, de acordo com a quantidade de lados paralelos que possuem, em paralelogramos ou trapézios.

Relação entre um Quadrilátero e uma Circunferência

Relações Métricas

Relações métricas no triângulo equilátero inscrito

As relações métricas no triângulo equilátero inscrito são formas de encontrar medidas dessa figura usando o raio da circunferência.

Retângulo

Retângulo recebe esse nome pelo fato de possuir todos os ângulos retos. Ele é um quadrilátero, estudado na geometria plana, com propriedades e fórmulas específicas.

Retas

Retas são figuras geométricas planas ou espaciais que podem ser classificadas em concorrentes, coincidentes e paralelas.

Retas concorrentes

Duas retas são classificadas como concorrentes quando se encontram em um único ponto. Além delas, existem as retas paralelas e as retas coincidentes.

Segmentos proporcionais

Segmentos proporcionais são aqueles que, respeitando determinada ordem, têm como resultado da divisão entre suas medidas o mesmo número.

Semelhança de Polígonos

Semelhança de triângulos

A semelhança de triângulos é a comparação entre lados proporcionais e ângulos congruentes de triângulos a fim de saber se eles são semelhantes.

Simetria

A simetria é um dos conceitos básicos da geométrica. Existem três tipos de simetria: a simetria reflexiva, a simetria de translação e a simetria de rotação.

Soma dos ângulos internos e externos de um polígono convexo

A soma dos ângulos internos de um polígono convexo depende das diagonais que partem de um mesmo vértice. A soma dos externos é sempre 360°.

Tangram

O tangram é um quebra-cabeça chinês antigo formado por 7 formas geométricas: 2 triângulos grandes, 1 triângulo médio, 2 triângulos pequenos, 1 quadrado e 1 paralelogramo.

Teorema da bissetriz interna

O teorema a bissetriz interna, aplicado em triângulos, demonstra que a bissetriz de um ângulo divide o lado oposto ao ângulo de forma proporcional aos lados adjacentes.

Teorema de Tales

O Teorema de Tales é usado para a melhor compreensão da proporcionalidade.

Teorema fundamental da semelhança

Teorema fundamental da semelhança é o resultado de uma aplicação do teorema de Tales envolvendo uma reta paralela e um lado do triângulo.

Tipos de Polígonos

Existem dois tipos de polígonos: plano e não plano. Além disso, os polígonos são classificados em convexos e não convexos.

Trapézio

O trapézio é um polígono quadrilátero que possui exatamente dois lados paralelos e dois lados oblíquos.

Triângulo equilátero

Um triângulo é classificado como equilátero quando ele possui os três lados congruentes, o que resulta em propriedades especiais.

Triângulo escaleno

Triângulo escaleno é quando todos os lados da figura possuem medidas distintas. O triângulo escaleno é o tipo de triângulo mais comum no dia a dia.

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