Os produtos notáveis são multiplicações envolvendo polinômios que aparecem com frequência em problemas matemáticos de álgebra. Existem cinco casos importantes de produtos notáveis, são eles:
- quadrado da soma;
- quadrado da diferença;
- produto da soma pela diferença;
- cubo da soma;
- cubo da diferença.
O uso dos produtos notáveis pode facilitar na resolução de equações, na simplificação de expressões algébrica e na solução de problemas matemáticos. Tem aplicação no estudo de cálculo, de geometria analítica, de álgebra, entre outras áreas da Matemática.
Leia também: Como resolver equações do 1º grau
Resumo sobre produtos notáveis
- Produtos notáveis são expressões algébricas com propriedades específicas que permitem simplificar cálculos.
- Envolvem a multiplicação de binômios ou expressões polinomiais com padrões definidos.
- Os cinco casos de produtos notáveis são:
- Quadrado da soma de dois termos:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 - Quadrado da diferença de dois termos:
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2 - Produto da soma pela diferença de dois termos (diferença de quadrados):
(a + b)(a - b) = a2 - b2 - Cubo da soma de dois termos:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 - Cubo da diferença de dois termos:
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
Fórmulas dos produtos notáveis
Cada um dos cinco casos de produtos notáveis tem uma fórmula específica:
- Quadrado da soma de dois termos:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 - Quadrado da diferença de dois termos:
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2 - Produto da soma pela diferença de dois termos (diferença de quadrados):
(a + b)(a - b) = a2 - b2 - Cubo da soma de dois termos:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 - Cubo da diferença de dois termos:
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
Como calcular os produtos notáveis?
Vejamos como calcular cada um dos cinco casos de produtos notáveis.
-
Quadrado da soma
Quando há a soma entre dois termos elevada ao quadrado:
- Expressão algébrica: (a + b)2
- Caso expandido: a2 + 2ab + b2
De modo geral, temos que:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
| O produto notável quadrado da soma entre dois termos tem como resultado o quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o primeiro termo vezes o segundo termo, mais o quadrado do segundo termo. |
Exemplos:
- Calcularemos o valor de (2x + 3)2:
(2x + 3)2 = (2x)2 + 2 · 2x · 3 + 32
(2x + 3)2 = 4x2 + 12x + 9
- Calcularemos o valor de (3x + 1)2:
(3x + 1)2 = 3x2 + 2 · 3x · 1 + 12
(3x + 1)2 = 9x2 + 6x + 1
-
Videoaula sobre o cálculo do quadrado da soma
-
Quadrado da diferença
Quando há a diferença entre dois termos elevada ao quadrado:
- Expressão algébrica: (a - b)2
- Caso expandido: a2 - 2ab + b2
De modo geral, temos que:
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
| O produto notável quadrado da diferença entre dois termos tem como resultado o quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o primeiro termo vezes o segundo termo, mais o quadrado do segundo termo. |
Exemplos:
- Calcularemos o valor de (2x - 1)2:
(2x - 1)2 = (2x)2 - 2 · 2x · 1 + 12
(2x - 1)2 = 4x2 - 4x + 1
- Calcularemos o valor de (x - 5)2:
(x - 5)2 = x2 - 2 · x · 5 + 52
(x - 5)2 = x2 - 10 + 25
-
Videoaula sobre o quadrado da diferença
-
Produto da soma pela diferença
Quando há um produto da soma de dois termos pela diferença entre esses mesmos dois termos:
- Expressão algébrica: (a + b)(a - b)
- Caso expandido: a2 - b2
De modo geral, temos que:
(a + b)(a - b) = a2 - b2
| O produto notável produto da soma pela diferença tem como resultado o quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo. |
Exemplos:
- Calcularemos o valor de (x + 2)(x - 2):
Aplicando a propriedade distributiva, temos que:
(x + 2)(x - 2) = x2 - 2x + 2x - 2 · 2
(x + 2)(x - 2) = x2 - 4
- Calcularemos o valor de (2x + 3)(2x - 3):
(2x + 3)(2x - 3) = (2x)2 + 2x · (- 3) + 3 · 2x + 3 · (-3)
(2x + 3)(2x - 3) = 4x2 - 6x + 6x - 9
(2x + 3)(2x - 3) = 4x2 - 9
-
Videoaula sobre o produto da soma pela diferença
-
Cubo da soma
Quando há a soma entre dois termos elevada ao cubo:
- Expressão algébrica: (a + b)3
- Caso expandido: a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
De modo geral, temos que:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
| O produto notável cubo da soma de dois termos tem como resultado o cubo do primeiro termo, mais três vezes o primeiro termo ao quadrado vezes o segundo termo, mais três vezes o primeiro termo vezes o segundo termo ao quadrado mais o cubo do segundo termo. |
Exemplos:
- Calcularemos o valor de (x + 2)3:
(x + 2)3 = x3 + 3 · x2 · 2 + 3 · x · 22 + 23
(x + 2)3 = x3 + 6x2 + 3 · x · 4 + 8
(x + 2)3 = x3 + 6x2 + 12x + 8
- Calcularemos o valor de (3x + 1)3:
(3x + 1)3 = 3x3 + 3 · 3x2 · 1 + 3 · 3x · 12 + 13
(3x + 1)3 = 27x3 + 27x2 + 9x + 1
-
Videoaula sobre o cubo da soma
-
Cubo da diferença
Quando há a soma entre dois termos elevada ao cubo:
- Expressão algébrica: (a - b)3
- Caso expandido: a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
De modo geral, temos que:
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
| O produto notável cubo da diferença de dois termos tem como resultado o cubo do primeiro termo, menos três vezes o primeiro termo ao quadrado vezes o segundo termo, mais três vezes o primeiro termo vezes o segundo termo ao quadrado menos o cubo do segundo termo. |
Exemplos:
- Calcularemos o valor de (x - 2)3:
(x - 2)3 = x3 - 3 · x2 · 2 + 3 · x · 22 - 23
(x - 2)3 = x3 - 6x2 + 3 · x · 4 - 8
(x - 2)3 = x3 - 6x2 + 12x - 8
- Calcularemos o valor de (2x - 3)3:
(2x - 3)3 = (2x)3 - 3 · (2x)2 · 3 + 3 · 2x · 32 - 33
(2x - 3)3 = 8x3 - 36x2 + 54x - 27
-
Videoaula sobre o cubo da diferença
Propriedades dos produtos notáveis
- Simplificação de cálculos: Utilizar produtos notáveis torna operações algébricas complexas mais rápidas e diretas.
Exemplo:
Calcularemos o valor de:
(a + b)2 - (a - b)2
Resolução:
Primeiro desenvolveremos ambos os produtos notáveis:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
Substituindo, temos que:
(a + b)2 - (a - b)2= a2 + 2ab + b2 - (a2 - 2ab + b2)
(a + b)2 - (a - b)2=a2 + 2ab + b2 - a2 + 2ab - b2
(a + b)2 - (a - b)2 = 4ab
- Reversibilidade: Muitas expressões podem ser fatoradas usando os produtos notáveis.
Realizar a fatoração de um polinômio pode ajudar, e muito, na resolução de problemas envolvendo álgebra. Sendo assim, é importante saber transformar o caso expandido na expressão algébrica do produto notável.
Exemplo:
Simplificaremos a fração:
Primeiro sabemos que, no numerador, temos um quadrado da soma, logo, podemos reescrevê-lo:
No denominador, temos a diferença de dois quadrados, que é o resultado do produto da soma pela diferença, logo, o denominador pode ser reescrito como:
Então encontraremos:
Como o termo (x + y) aparece tanto no numerador quanto no denominador, ao simplificar teremos a seguinte expressão:
Leia também: Como resolver frações algébricas
Tabela de casos notáveis
A tabela a seguir contém o nome do produto notável, sua expressão algébrica e o caso expandido.
|
Produto notável |
Expressão algébrica |
Caso expandido |
|
Quadrado da soma |
(a + b)2 | a2 + 2ab + b2 |
|
Quadrado da diferença |
(a - b)2 | a2 - 2ab + b2 |
|
Produto da soma pela diferença |
(a + b)(a - b) | a2 - b2 |
|
Cubo da soma |
(a + b)3 | a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 |
|
Cubo da diferença |
(a - b)3 | a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 |
Exercícios sobre produtos notáveis
Questão 1
Um contador em uma empresa foi questionado sobre o número de relatórios que ele revisou em determinado dia. Ele respondeu: “O número de relatórios que revisei é igual a (14,5)2 − (9,5)2. Chamando Y o total de relatórios revisados, é correto afirmar que esse total foi de:
A) 90 relatórios
B) 115 relatórios
C) 120 relatórios
D) 125 relatórios
E) 135 relatórios
Resolução:
Alternativa C
Para resolver a questão usando o produto da soma pela diferença, aplicamos a fórmula geral:
(a + b) · (a - b) = a2 - b2
O contador afirmou que o número de relatórios revisados foi igual a:
Y = (14,5)2 - (9,5)2
Podemos aplicar a fórmula com:
- a = 14,5
- b = 9,5
Substituindo na fórmula:
Y = (14,5 + 9,5) ⋅ (14,5 - 9,5)
Calculando os valores:
Y = 24 · 5
Y = 120
Questão 2
Um engenheiro está calculando o volume de dois reservatórios conectados em um projeto. Ele descobriu que a diferença entre o volume dos dois reservatórios pode ser representada pela expressão (3y - 4)(3y + 4) - (3y - 4)2. Ao simplificar essa expressão, qual é o polinômio resultante que representa a diferença de volumes?
- 24y
- 24y – 32
- 9y3 + 12y2
- 32
- 3y – 36
Resolução:
Alternativa B
Calcularemos o valor da expressão algébrica:
(3y - 4)(3y + 4) - (3y - 4)2
Sabemos que o primeiro produto é o produto da soma pela diferença, então temos que:
(3y)2 - 42 - (3y - 4)2
9y2 - 16 - (3y - 4)2
O termo (3y - 4)2 é um produto notável conhecido como quadrado da diferença. Desenvolvendo o termo, temos que:
9y2 - 16 - (9y2 - 2 · 3y · 4 + 16)
9y2 - 16 - 9y2 +24y - 16
24y - 32
Fontes
Dante, L. R. (2017). Matemática: Contexto e Aplicações. 1ª edição. Editora Ática.
Boldrini, José Luiz et al.: Álgebra Linear. 3ª ed. Harbra, 1986.
