Inequação do 2º grau 3x729

Inequação do 2º grau é uma expressão algébrica com desigualdade em que o maior expoente da incógnita é 2. Resolver uma inequação significa determinar qual intervalo de valores que a incógnita pode assumir para satisfazer a expressão. Outra forma de resolver uma inequação do 2° grau é analisar o gráfico da função do 2° grau associada. 4k1v3z

Leia também: Inequação modular — expressão algébrica com desigualdade que possui uma variável dentro do módulo

Resumo sobre inequação do 2º grau g3e58

• Inequação do 2º grau é uma expressão com desigualdade em que o maior expoente da incógnita é 2.
• Para resolvê-la, devemos obter as raízes da equação associada e analisar os sinais da incógnita para valores em cada intervalo determinado pelas raízes.
• Outra forma de encontrar a solução dela é analisar o gráfico da função associada.

O que é uma inequação do 2º grau? 2gc4v

Uma inequação do 2º grau é uma expressão algébrica com desigualdade em que o maior expoente da incógnita é 2. Assim, a inequação do 2º grau apresenta um dos seguintes formatos, em que a, b e c são números reais:

• \( ax^2+bx+c<0\)
• \( ax^2+bx+c\le0\)
• \( ax^2+bx+c>0\)
• \( ax^2+bx+c\geq0\)

Lembre-se de que os sinais <, ≤,>,≥ indicam desigualdades e significam, respectivamente, “menor”, “menor ou igual”, “maior” e “maior ou igual”.

Exemplo:

\(x^2-4<0\) é uma inequação do 2º grau, com a=1, b=0 e c=-4. Resolva essa inequação.

Resolução:

Resolver essa inequação é indicar quais números reais podemos substituir a incógnita x para que \(x^2-4<0\). Vamos testar alguns números.

• Se \(x=-3\), temos que \(\left(-3\right)^2-4\ =9-4=5\). Como 5 não é menor que 0, o número –3 não é uma solução para a inequação.

• Se \(x=0\), temos que \(0^2-4=-4\). Como – 4 é menor que 0, o número 0 é uma solução para a inequação.
• Se \(x=5\), temos que \(1^2-4=1-4=-3\). Como –3 é menor que 0, o número 1 é uma solução para a inequação.
• Se \(x=5,5\), temos que \(\left(5,5\right)^2-4=30,25-4=26,25\). Como 26,25 não é menor que 0, o número 5,5 não é uma solução para a inequação.

Encontramos duas soluções para a inequação, e poderíamos continuar testando números para encontrar outras. No entanto, resolver a inequação significa encontrar todas as soluções, ou seja, determinar o intervalo do conjunto solução. Vejamos, a seguir, como fazer isso.

Como resolver uma inequação do 2º grau? 196c12

Para resolver uma inequação do 2º grau, devemos seguir os seguintes os:

• 1º o: comparar a expressão com a equação do 2º grau correspondente.
• 2º o: obter as raízes da equação.
• 3º o: atribuir valores para a incógnita com base nos intervalos de números reais determinados pelas raízes da equação e avaliar quais satisfazem a inequação.

Exemplo:

Determine o conjunto solução da inequação do 2º grau \(x^2-4<0\).

Resolução:

Vamos analisar a equação do 2º grau correspondente:

\(x^2-4=0\)

\(x^2=4\)

Assim, \(x_1=-2 \ e\ x_2=2\) são as raízes da equação \(x^2-4=0\).

Agora vamos analisar o que ocorre na expressão \(x^2-4\) para os números reais nos intervalos definidos por –2 e 2. Lembre-se de que buscamos valores de x, em que \(x^2-4<0\).

• Se \(x<-2\), tem-se que \(x^2-4\) é maior que zero.

(Testamos \(x=-3\) anteriormente e obtemos 5 como resultado. Poderíamos atribuir outros valores para x com \(x<-2\) e teríamos que \(x^2-4 \) é maior que zero.)

• Se \(-2 < x < 2\), tem-se que \(x^2-4\) é menor que zero.

(Testamos \(x = 0\) e \(x = 1\) anteriormente e obtemos –4 e –3, respectivamente, como resultados. Poderíamos atribuir outros valores para x, com \(-2 < x < 2\), e teríamos que \(x^2-4 \) é menor que zero.)

• Se \(2 < x\), tem-se que \(x^2-4\) é maior que zero.

(Testamos \(x=5,5\) anteriormente e obtemos 26,25 como resultado. Poderíamos atribuir outros valores para x, com \(2 < x\), e teríamos que \(x^2-4\) é maior que zero.)

Dessa forma, o conjunto solução é \(S = \{ x \in R / -2 < x < 2 \}\)

→ Outra forma de resolver uma inequação do 2º grau 4g6ym

Um modo mais direto de resolver uma inequação do 2° grau é analisar os sinais do gráfico da função do 2º grau à qual a inequação do 2º grau está associada. Considerando uma função do 2° grau \(f\left(x\right)=ax^2+bx+c\), o gráfico desse tipo de função é uma parábola cuja concavidade está associada ao sinal de a:

• Se a>0, a concavidade é voltada para cima.
• Se a<0, a concavidade é voltada para baixo.

Exemplo:

Qual o conjunto solução da inequação \(2x^2-6x+4\geq0\)?

Resolução:

Vamos analisar a equação do 2º grau correspondente:

\(2x^2-6x+4=0\)

Utilizando a fórmula de Bháskara, temos que:

\(x=\frac{6\pm\sqrt{36-4\cdot2\cdot4}}{4}\)

Assim, \(x_1=1 \ e\ x_2=2 \) são as raízes da equação \(2x^2-6x+4=0\).

Agora considere a função \(f\left(x\right)=2x^2-6x+4\). Como 2>0, o gráfico dessa função é uma parábola com concavidade para cima. Além disso, pelo que analisamos, o gráfico dessa função cruza o eixo horizontal quando x=1 e quando x=2. Assim, o comportamento dessa função próximo a esses valores é o seguinte:

Note que:

• Se x<1, tem-se que \(2x^2-6x+4\) é maior que zero.
• Se 1< x < 2, tem-se que \(2x^2-6x+4\) é menor que zero.
• Se 2 < x, tem-se que \(2x^2-6x+4\) é maior que zero

Portanto, o conjunto solução da inequação \(2x^2-6x+4\geq0 \ é \ S=\{x\in R/x\le1\ \mathrm{ou\ }2\le x\}\).

Veja também: Sistema de inequação do 1º grau — formado por duas ou mais inequações do 1º grau

Exercícios resolvidos sobre inequações do 2º grau 2c4l33

Questão 1

(Udesc) O conjunto solução da inequação \(x^2-2x-3\le0\) é:

A) \( \{x\in R/-1\ < x < 3\}\)

B) \( \{x\in R/-1\ < x \leq 3\}\)

C) \( \{x\in R/x<-1\ \mathrm{ou\ }x>3\}\)

D) \( \{x\in R/x<-1\ \mathrm{ou\ }x\geq3\}\)

E) \( \{x\in R/-1\le x\le3\}\)

Resolução:

Alternativa E

Considere a equação \(x^2-2x-3=0\). Utilizando a fórmula de Bháskara, temos que:

\(x=\frac{2\pm\sqrt{4-4\cdot1\cdot-3}}{2}\)

Assim, \(x_1=-1 \ e\ x_2=3\) são as raízes da equação \(x^2-2x-3=0\).

Considere \(f\left(x\right)=x^2-2x-3\). O gráfico dessa função possui a concavidade para cima e cruza o eixo horizontal em \(x_1=-1 \ e\ x_2=3\).

Portanto, os valores de x, em que \(x^2-2x-3\le0\), são os valores de –1 a 3, incluido \(x=-1 \ e\ x=3\).

Questão 2

(PUC) Quantas soluções inteiras a inequação \(x^2+x-20\le0\) ite?

A) 2

B) 3

C) 7

D) 10

E) 13

Resolução:

Alternativa D

Considere a equação \(x^2+x-20=0\). Utilizando a fórmula de Bháskara, temos que:

\(x=\frac{-1\pm\sqrt{1-4\cdot1\cdot-20}}{2}\)

Assim, \(x_1=-5 \ e\ x_2=4\) são as raízes da equação \(x^2+x-20=0\).

Considere \(f\left(x\right)=x^2+x-20\). O gráfico dessa função possui a concavidade para cima e cruza o eixo horizontal em x1=-5 e x2=4.

Portanto, os valores de x, em que \(x^2+x-20\le0\), são os valores de – 5 a 4, incluido \(x=-5 \ e\ x=4\). Dessa forma, o conjunto com as soluções inteiras é:

\(\{-5,\ -4,-3,-2,-1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4\}\)

Fontes

LIMA, Elon L. et al. A Matemática do Ensino Médio: Volume 1. Coleção Professor de Matemática. Rio de Janeiro: SBM, 2016.

MINEIRO, R. M. Estudo das três dimensões do problema didático de inequações. Tese (Doutorado em Educação Matemática) - Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática, Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2019. Disponível em https://repositorio.pucsp.br/jspui/handle/handle/22984.