Soma e produto é um método utilizado para encontrar as soluções de uma equação. Utilizamos a soma e produto como método para calcular as raízes de uma equação do 2º grau, do tipo ax² + bx + c = 0. 6e960
Esse é um método interessante quando as soluções da equação são números inteiros. Já em casos em que as soluções não são inteiras, pode ser bastante complicado utilizar a soma e produto, havendo outros métodos mais fáceis para encontrar as soluções da equação.
Leia também: Bhaskara — a fórmula mais conhecida para resolver equações do segundo grau
\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)
\(x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}\)
A soma e produto é um dos métodos que podemos utilizar para encontrar as soluções de uma equação. Utilizada em equações do 2º grau, a soma e produto pode ser um método mais prático para encontrar as soluções da equação, pois consiste em buscar quais são os números que satisfazem a fórmula da soma e produto para determinada equação.
Em uma equação do 2º grau, do tipo ax² + bx + c = 0, com soluções iguais a x1 e x2 , pela soma e produto, temos que:
\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)
\(x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}\)
Para encontrar as soluções, primeiramente procuramos quais são os números inteiros cujo produto é igual a \(\frac{c}{a}\).
Sabemos que as soluções da equação podem ser positivas ou negativas:
Posteriormente, após listar todos os produtos que satisfazem a equação, analisamos qual deles satisfaz a equação da soma, ou seja, quais são os dois números que satisfazem a equação do produto e da soma simultaneamente.
Exemplo 1:
Encontre as soluções da equação:
\(x²-5x+6=0\)
De início, substituiremos na fórmula da soma e produto. Temos que a = 1, b = -5 e c = 6:
\(x_1+x_2=5\)
\(x_1\cdot x_2=6\)
Como a soma e o produto são positivos, as raízes são positivas. Analisando o produto, sabemos que:
\(1\ \cdot6\ =\ 6\ \)
\(2\cdot3\ =\ 6\)
Agora, verificaremos qual desses resultados possui soma igual a 5, que no caso é:
\(2+3=5\)
Assim, as soluções dessa equação são \(x_1=2\ e\ x_2=3\).
Exemplo 2:
Encontre as soluções da equação:
\(x^2+2x-24=0\ \)
Primeiramente, substituiremos na fórmula da soma e produto. Temos que a = 1, b = 2 e c = -24.
\(x_1+x_2=-\ 2\)
\(x_1\cdot x_2=-\ 24\)
Como a soma e o produto são negativos, as raízes são de sinais opostos, e a de maior módulo é negativa. Analisando o produto, sabemos que:
\(1\cdot(-24)=-24\)
\(2\cdot\left(-12\right)=-24\)
\(3\cdot\left(-8\right)=-24\)
\(4\cdot\left(-6\right)=-24\)
Agora, verificaremos qual desses resultados possui soma igual a -2 , que no caso é:
\(4+\left(-6\right)=-2\)
Assim, as soluções dessa equação são \(x_1=4\ e\ x_2=-6\) .
Leia também: Como resolver uma equação do segundo grau incompleta
Questão 1
Sejam y e z as raízes da equação 4x2-3x-1=0 , o valor de 4(y+4) (z+4) é:
A) 75
B) 64
C) 32
D) 18
E) 16
Resolução:
Alternativa A
Calculando por soma e produto:
\(y+z=\frac{3}{4}\)
\(y\cdot z=-\frac{1}{4}\)
Então, temos que:
\(4\left(y+4\right)\left(z+4\right)=4(yz+4y+4z+16)\)
\(4\left(y+4\right)\left(z+4\right)=4\left(-\frac{1}{4}+4\left(y+z\right)+16\right)\)
\(4\left(y+4\right)\left(z+4\right)=4\left(-\frac{1}{4}+4\cdot\frac{3}{4}+16\right)\)
\(4\left(y+4\right)\left(z+4\right)=4\left(-\frac{1}{4}+3+16\right)\)
\(4\left(y+4\right)\left(z+4\right)=4\left(-\frac{1}{4}+19\right)\)
\(4\left(y+4\right)\left(z+4\right)=4\left(\frac{76-1}{4}\right)\)
\(4\left(y+4\right)\left(z+4\right)=4\cdot\frac{75}{4}\)
\(4\left(y+4\right)\left(z+4\right)=75\)
Questão 2
Considerando a equação 2x2 + 8x + 6 = 0, seja S a soma das raízes dessa equação e P o produto das raízes da equação, então o valor da operação (S - P)2 é:
A) 36
B) 49
C) 64
D) 81
E) 100
Resolução:
Alternativa B
Calculando por soma e produto:
\(S=x_1+x_2=-4\)
\(P\ =\ x_1\cdot x_2=3\)
Então, temos que:
\(\left(-4-3\right)^2=\left(-7\right)^2=49\)
Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática
Fonte: Brasil Escola - /matematica/soma-e-produto.htm