Propriedades da multiplicação e3y5i

As propriedades da multiplicação podem ser encontradas nos conjuntos numéricos que estudamos em todo ensino primário. 1u4y6c

Na multiplicação temos: propriedade comutativa, propriedade associativa, propriedade distributiva, elemento neutro e elemento inverso.

Quais são as propriedades da multiplicação? 2q3i2y

Sabemos que a multiplicação é nada mais que a realização de somas sucessivas, por exemplo, quando multiplicamos 3 · 5 é o mesmo que somar 3 por si mesmo cinco vezes ou 5 por si mesmo três vezes, veja:

3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15

5 + 5 + 5 = 15

Dessa forma, 3 · 5 = 15, mas veja que realizar esse processo nem sempre é o melhor caminho, experimente calcular 9 · 8 utilizando esse método. Claro que não é uma tarefa impossível, somente bastante complicada. Veremos a seguir algumas propriedades que facilitam esse processo, essas propriedades são todas provenientes das propriedades da adição.

Leia também: Multiplicação de frações algébricas: como fazer?

• Propriedade comutativa da multiplicação 2m262p

A multiplicação satisfaz a comutatividade, isto é, dados dois números reais, a e b, podemos multiplicá-los na ordem que bem entendermos, o resultado sempre será o mesmo. Podemos escrever tal propriedade da seguinte maneira:

a · b = b · a

Exemplo 235c2f

Observe a multiplicação 5 · 4 e a multiplicação 4 · 5.

5 · 4 = 20

4 · 5 = 20

Essa propriedade é herdada da adição, uma vez que a operação de multiplicação é nada mais que somas sucessivas do mesmo número.

Cuidado: A comutatividade é valida para números reais/complexos, mas, no conjunto das matrizes, essa operação não é satisfeita, ou seja, dadas duas matrizes: A · B ≠ B · A.

Leia também: Multiplicação de matrizes: como calcular?

• Propriedade associativa da multiplicação 132s63

A propriedade associativa da multiplicação diz-nos que na multiplicação de três números podemos escolher a ordem dos produtos. De modo geral, podemos representar essa propriedade assim:

(a · b) · c = a · (b · c)

Exemplo 235c2f

Observe:

(3 · 5) · 2 = 15 · 2 = 30, por outro lado 3 · (5 · 2) = 3 · 10 = 30.

Note que podemos multiplicar qualquer um dos fatores primeiro, que o resultado final ainda se mantém.

• Propriedade distributiva da multiplicação 71dz

Na multiplicação podemos distribuir o produto, isso ocorre quando vamos multiplicar um número por uma soma.

a · (b + c) = a · b + a · c

Considere a seguinte multiplicação: 3 · (5 + 4).

Por um lado, temos que:

3 · (5 + 4) =

3 · 9 =

27 =

Por outro, podemos realizar a distributividade, que consiste na multiplicação do número de fora do parêntese por cada termo da soma, logo, temos que:

3 · (5 + 4) =

3 · 5 + 3 · 4 =

15 + 12 =

27 =

Veja que:

3 · (5 + 4) = 3 · 5 + 3 · 4

• Elemento neutro 5i1i16

O elemento neutro é aquele que ao ser operado com qualquer outro número mantém como resultado o número com que ele foi operado. No caso da multiplicação, o elemento neutro é o número 1, ou seja:

a · 1 = a

Exemplos 63k1w

a) 2 · 1 = 2

b) 309 · 1 = 309

c) –10000 · 1 = – 10000

• Elemento inverso 2w4u2e

O elemento inverso na multiplicação é aquele que quando multiplicado por um número resulta em 1. O elemento inverso de um número a é dado por:

Assim, o inverso de um número qualquer é sempre a fração um sobre o número.

Exemplos 63k1w

Exercícios resolvidos sobre propriedades da multiplicação 651iu

Questão 1 – Determine o valor de x na expressão x (2 – x) = 0

Solução

Para determinar o valor de x na expressão, temos que utilizar a propriedade distributiva da multiplicação, assim:

x (2 – x) = 0

2x – x² = 0

Questão 2 – Sabe-se que o inverso de um número é igual à oitava parte desse número acrescida por um quarto. Determine esse número.

Solução

Como desconhecemos o número, vamos nomeá-lo y. Pelo enunciado, o inverso é igual à oitava parte desse número y somada por um quarto, logo, temos a seguinte igualdade:

Resolvendo a igualdade anterior, temos: